La méthode de Newton-Raphson

La méthode de Newton-Raphson est un procédé très efficace dans la recherche du zéro d’une fonction réelle, sa convergence est généralement bien plus rapide que celle de la méthode dichotomique. Elle comporte cependant des chausse-trappes qu’une étude de la fonction et de sa courbe permettent d’éviter.

Elle est attribuée aux mathématiciens Newton et Raphson pour leur contribution respective en 1685 et 1690. Elle est toutefois le fruit d’une lente maturation au cours des ans, avant et après l’époque de Newton. Son procédé définitif tel qu’utilisé aujourd’hui est attribué au mathématicien Thomas Simpson en 1740. Avant, elle est dérivée des travaux du mathématiciens François Viète et des mathématiciens iraniens Sharaf al-Din al-Tusi et Jamshīd al-Kāshī. Enfin elle est une généralisation de la méthode de Héron ou méthode babylonienne d’extraction d’une racine carrée.

Méthode de Héron

Cette technique extrait la racine carrée d’un nombre positif a. A savoir résoudre l’équation x²=a ou rechercher le zéro de la fonction f(x)=x²-a . La méthode est avant tout géométrique, il s’agit de rechercher par itérations successives des rectangles de plus en plus proche d’un carré et d’aires toujours égales à a.

Méthode de Newton-Raphson

D’un point de vue géométrique cette méthode revient à substituer une série de droites à la courbe de la fonction dont nous recherchons un zéro. Ces droites sont les tangentes, meilleures approximations locales de degré 1 à la courbe. Un choix important est celui de la première tangente.

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